Matematičar s Harvarda odgovara na 150 godina star šahovski problem
Kraljica je najmoćnija figura na šahovskoj ploči. Za razliku od bilo koje druge (uključujući kralja), može pomicati bilo koji broj polja okomito, vodoravno ili dijagonalno. Sada razmotrite ovaj kraljičin gambit: Ako ih osam stavite na standardnu ploču od osam puta osam polja, na koliko bi načina mogli biti raspoređene tako da nijedna ne može napasti drugu? Ispostavilo se da ih ima 92. Ali što ako postavite još veći broj kraljica na šahovsku ploču iste relativne veličine, recimo, 1000 kraljica na šahovskoj ploči veličine 1000 puta 1000, ili čak milijun dama na ploču slične veličine?
Izvorna verzija matematičkog problema n-dama prvi put se pojavila u njemačkom šahovskom časopisu 1848. kao problem osam kraljica, a točan odgovor pojavio se nekoliko godina kasnije. Zatim se 1869. pojavila opširnija verzija problema i ostala bez odgovora sve do kraja prošle godine, kada je matematičar s Harvarda dao gotovo konačan odgovor.
Michael Simkin, postdoktorant u Centru za matematičke znanosti i primjene, izračunao je da postoji oko (0,143n)n načina na koje se kraljice mogu postaviti tako da nijedna ne napada drugu na ogromnim n-by-n šahovskim pločama.
Simkinova konačna jednadžba ne daje točan odgovor, ali umjesto toga jednostavno kaže da je ova brojka što bliža stvarnom broju koliko trenutno možete dobiti. Broj 0,143, koji predstavlja prosječnu razinu nesigurnosti u mogućem ishodu varijable, množi se s onim što je n, a zatim se podiže na n kako bi se dobio odgovor.
Na iznimno velikoj šahovskoj ploči s milijun kraljica, na primjer, 0,143 bi se pomnožilo s milijun, što bi ispalo na oko 143 000. Ta bi se brojka tada podigla na potenciju od milijun, što znači da se toliko puta množi s milijun. Konačni odgovor je brojka s pet milijuna znamenki.
Simkin je uspio doći do jednadžbe razumijevanjem temeljnog uzorka kako veliki broj kraljica mora biti raspoređen na tim ogromnim šahovskim pločama - bilo da će biti koncentrirane u sredini ili na rubovima - a zatim primjenjujući dobro poznate matematičke tehnike i algoritme.
Usredotočujući se na prostore koji imaju veće šanse da budu zauzeti, Simkin je shvatio koliko bi kraljica bilo u svakom dijelu ploče i smislio formulu za dobivanje valjanog broja konfiguracija. Izračuni su rezultirali onim što je poznato kao donja granica - minimalni broj mogućih konfiguracija. Nakon što je dobio taj broj, Simkin je zatim upotrijebio strategiju poznatu kao metoda entropije da pronađe gornju granicu, što je najveći broj mogućih konfiguracija.
Simkin je otkrio da odgovor donje granice gotovo savršeno odgovara odgovoru na gornjoj granici. Jednostavno rečeno, pokazalo je da je točan odgovor smješten negdje između dvije granice u relativno malom matematičkom prostoru.
Izvor: Cornell University